Вийчук Т.И.,
доцент кафедры математики и методики преподавания математики Дрогобычского государственного педагогического университета имени Ивана Франко, кандидат педагогических наук

Обучение учащихся созданию математических моделей в процессе решения прикладных задач в 5-9 классах

В статье представлены результаты исследования проблемы обучения учащихся метода математического моделирования на уроках математики в 5-9 классах. Раскрыто методические подходы к формированию у учащихся навыков создания математических моделей в процессе решения прикладных задач.

Постановка проблемы. В Законе Украины "Об общем среднем образовании", Государственной национальной программе "Образование" (Украина XXI вв.) Определены направления развития национальной системы образования, направленные на повышение интеллектуального потенциала нации, воспитание личности, способной активно участвовать в развитии украинского государства [1 ]. Значительный потенциал для достижения этой цели имеет школьный курс математики.

С конца XIX века и до сих пор происходит "математизация" всех сфер жизни, даже таких, которые считались нематематического: поэтики, лингвистики, медицины, психологии, теории искусства, педагогики. А специальности, связанные с экономикой, техникой, информационными технологиями и другие, требующие от молодого специалиста углубленной математической подготовки.

В связи с этим важное значение приобрела необходимость ознакомления учащихся с одним из важнейших математических методов научного исследования окружающей действительности - методом математического моделирования. В этом контексте приоритетное значение имеют цели обучения математике в школе, направленные на формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений и процессов.

Учитывая вышесказанное, считаем, что на современном этапе развития школьного математического образования в условиях личностно-ориентированного обучения, уровневой и профильной дифференциации проблема обучения учащихся решению задач методом математического моделирования в процессе изучения математики, в частности - переформулирование прикладной задачи с естественного языка той области , где она возникла, на языке математики и создания адекватной математической модели, является актуальной и требует тщательного исследования.

Анализ актуальных исследований. В последние годы в педагогической прессе возросло количество публикаций, посвященных обучению учащихся метода математического моделирования. Среди авторов можно отметить Л. Ничуговську, Л. Панченко, С. Семенец, А. Грибьюк, Н. Войналович, Л. Бойко, А. Кононову, М. Бусленко, Б. Гнеденко, С. Великодного и других. Ряд статей принадлежит В.О.Швецю. Обычно в публикациях представлены варианты методических разработок для ознакомления учащихся с этапами математического моделирования в рамках школьной программы, а также системы задач, задач и вопросов к ним. Недостаточно внимания, по нашему мнению, в исследованиях уделено проблеме обучения учащихся построения математической модели, в частности переформулирование прикладной задачи с естественного языка той области, где она возникла, на языке математики. Этот вопрос требует дальнейшего исследования.

Цель статьи - раскрытие методических приемов обучения учащихся создания математической модели прикладной задачи.

Изложение основного материала. Метод математического моделирования является современным мощным познавательным методом и эффективным средством решения прикладных задач. Он основывается на применении математической модели как средства исследования реальных объектов, процессов или явлений и заключается в осуществлении определенной последовательности этапов. Этапы математического моделирования по сути во всех исследователей похожи и достаточно широко освещены в научной и учебной литературе. Например, В. А. Швец выделяет следующие этапы решения прикладной задачи в школе методом математического моделирования [4]:

1. Создание математической модели - перевод задачи с естественного языка той области, где она возникла, на языке математики.

2. Исследование математической модели - решение полученной математической задачи.

3. Интерпретация решений полученных результатов, то есть перевод развязку математической задачи с языка математики на языке той области, где она возникла.

Наши исследования и отзывы учителей математики дают основания утверждать, что наиболее сложным для учащихся является первый этап. Математизация прикладной задачи и построение математической модели является достаточно серьезной проблемой для учащихся, поскольку они в недостаточной степени умеют осуществлять следующее:

• декодировать информацию, заложенную в условии прикладной задачи;
• абстрагироваться от несущественных свойств исследуемых объектов в задаче;
• выявлять и правильно интерпретировать взаимосвязи между объектами, которые рассматриваются в условии задачи;
• формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные и введены переменные.

Это обусловлено тем, что ознакомление с математическим моделированием в школе имеет эпизодический характер; отсутствует также научно обоснованная методическая система такого обучения в процессе изучения школьной математики; в школьных учебниках размещено недостаточное количество прикладных задач.

Основная сложность для учащихся в процессе математизации текста прикладной задачи заключается в правильном подборе математической модели, которой может быть уравнения, неравенства или их системы, функции и тому подобное.

Одним из факторов, негативно влияющих на формирование навыков создания математической модели, является составление учителем плана решения прикладных задач синтетическим методом. Ученики сразу понимают, значение которой величины целесообразно принять за x и каким будет уравнения. Итак, ученикам предлагается уже готова математическая модель в виде уравнения, системы уравнений, неравенства или функции и т.д., с развязыванием которой они справляются хорошо. Но если ученикам нужно самостоятельно составить модель задачи, то в них сразу возникают вопросы: что обозначить с помощью x, какие именно неизвестные величины выражают через x и как составить уравнение.

Критериями подготовленности учащихся к самостоятельной реализации первого этапа решения прикладной задачи методом математического моделирования является сформированность у них соответствующих умений:

• выделять существенные факты, определяющие исследуемое явление (процесс);
• определять основные взаимосвязи между компонентами исследуемой проблемы;
• анализировать полноту данных, полученных в условии задачи;
• выбирать математический аппарат для построения модели и тому подобное.

Для того, чтобы переформулировать содержание задачи на языке математики, учащимся необходимо тщательно изучить и правильно толковать задачу, формализовать вопрос в ней, выразив искомые величины с помощью известных и введенных переменных. На этом этапе у учащихся возникают различные по характеру проблемы. Иногда они связаны с непониманием физических, химических, экономических терминов, законов, зависимостей. Так, далеко не все четко понимают соотношение между расстоянием, скоростью и временем в условиях равномерного и неравномерного движения, между концентрацией вещества и его долей в смесях, между объемом выполненной работы и производительностью труда и тому подобное. Ученики испытывают трудности в определении скорости сближения объектов при движении навстречу или в одном направлении, незначительно ориентируются в движении по кругу, затрудняются в выборе размерности в решении задач на совместную работу. Также в процессе составления математической модели учащиеся отвлекаются на несущественные для конкретной задачи свойства объектов, на второстепенные условия, которые не влияют на решение задачи.

Для преодоления этих трудностей при решении задач учителю целесообразно использовать не только математические модели задач, но и другие вспомогательные модели (рис. 1).

Рис. 1. Математические и вспомогательные модели задач

Формирование навыков математического моделирования при решении прикладных задач нужно начинать еще в 5-6 классах.

При решении задач прикладного содержания в ходе создания математической модели целесообразно придерживаться такой последовательности действий:

1. С помощью вспомогательных моделей выделить взаимосвязи и существенные свойства исследуемых объектов в условии задачи.

2. С помощью знаково-символических моделей создать неформальную модель (неформальная модель - это нестрогий описание процесса, в котором объясняются выделены зависимости между объектами, но, в то же время, предоставлена ​​возможность с точностью проверить степень логической взаимосвязи его свойств [2]).

3. Средствами математического языка создать математическую модель прикладной задачи.

Например:

Задача 1. На склад привезли 32 бочки масла и 24 ящика масла. Какая масса одной бочки масла и одного ящика масла, если каждая бочка втрое тяжелее ящика, а общая масса привезенного товара составляет 3360 кг?

1. Выделим соотношение между объектами, которые рассматриваются в задаче.

2. Опишем соотношение между объектами.

КоличествоМасса однойОбщая массаВместеМасло

24 ящика х х ∙ 24 3360 кг Масло 32 бочки 3 х 3 х ∙ 32

3. Составим уравнение (математическая модель задачи): 24 х + 96 х = 3360.

В 7-9 классах также целесообразно использовать вспомогательные модели для создания математической модели прикладной задачи.

Например:

Задача 2.

В сосуд с 24% раствором соли добавили 2 кг 15% раствора соли. В результате получили раствор с концентрацией 20%. Сколько килограммов 24% раствора соли было в сосуде?

1. Выделим соотношение между объектами, которые рассматриваются в задаче.

2. Опишем соотношение между объектами.

3. Составим математическую модель задачи.

Пусть в сосуде было х кг раствора концентрацией 24%. тогда

0,24 ∙ х + 0,12 ∙ 2 = 0,2 (х + 2)

Итак, перевод прикладной задачи на математическим языком проводится в два приема. Сначала текст задачи частично сохраняется и является вместе с элементами математического языка (знаками действий и знаком равенства) основой для будущей математической модели. И только после этого естественный язык полностью заменяется математической и состоит математическая модель.

Выводы. Для формирования у учащихся умений создания математической модели при решении прикладной задачи целесообразно придерживаться такой последовательности действий:

• а помощью вспомогательных моделей выделить взаимосвязи и существенные свойства исследуемых объектов в условии задачи;
• с помощью знаково-символических моделей создать неформальную модель задачи;
• создать математическую модель задачи.

Для организации эффективной учебной деятельности учащихся по решению прикладных задач методом математического моделирования нужно использовать эвристические вопросы; абстрагироваться от свойств объекта, несущественных для построения математической модели; помогать ученикам четко указывать на различия между объектом и его моделью; формулировать условие и требование прикладной задачи на языке математики.

Список использованных источников

1. Закон Украины "Об общем среднем образовании" // Образование. - 1997. - С. 6-11.
2. Кирилюк, Л.Л. Использование математического моделирования при решении задач в курсе алгебры основной школы / Л.Л.Кирилюк // Вересень. - 2009. - № 3-4 (48-49). - С. 72-78.
3. Панченко, Л.В. Система прикладных задач как средство формирования умений математического моделирования в будущих учителей математики / Л.В.Панченко // Математика в школе. - 2004. - № 9-10. - С. 21-28.
4. Швец, В.А. Математическое моделирование как содержательная линия школьного курса математики / В.О.Швець // Дидактика математики: проблемы и исследования: международный сборник научных работ. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2009. - № 32. - С. 16-23.

Вийчук, Т.И. Обучение учеников созданию математических моделей в процессе решения прикладных задач в 5-9 классах

В статье Представлены результаты исследования проблемы обучения учеников метода математического моделирования на уроках математики в 5-9 классах. Раскрыты методические подходы к формированию в учеников навыков создания математических моделей в процессе решения прикладных задач.

Ключевые слова: математическое моделирование, прикладная задача, создание математической модели, этапы решения прикладной задачи.

Viychuk, TI Teaching Students Creating Mathematical Models in Solving Applied Problems in Forms 5-9

The paper presents the results of research on teaching students the method of mathematical modeling at mathematics lessons in forms 5-9. Methodological approaches to the development of students 'skills in creating mathematical models in the process of solving applied problems are revealed.

Key words: mathematical modeling, applied task, creation of mathematical models, stages of solving applied tasks.