1. Історія аксіоматизації теорії ймовірностей [ правити | правити код ]
2. Колмогоровской аксіоми елементарної теорії ймовірностей [ правити | правити код ]
3. Колмогоровской емпірична дедукція аксіом [ правити | правити код ]
4. Аксіома безперервності і нескінченні імовірнісні простору [ правити | правити код ]
5. Нескінченні імовірнісні простору і "ідеальні події» [ правити | правити код ]
6. Критика терміна «аксіоматика теорії ймовірностей» [ правити | правити код ]

Аксіоматика Колмогорова - загальноприйнята аксіоматика для математичного опису теорії ймовірностей . Початковий варіант запропонований Андрієм Миколайовичем Колмогоровим [1] [2] в 1929 році, остаточна версія - у 1933 році . Аксіоматика Колмогорова дозволила надати теорії ймовірностей стиль, прийнятий в сучасній математики .

Історія аксіоматизації теорії ймовірностей [ правити | правити код ]

Проблема аксіоматизації теорії ймовірностей включена Д. Гильбертом в формулювання його 6-й проблеми «Математичне виклад основ фізики »:

До Колмогорова спроби аксіоматизована теорію ймовірностей робили Г. Больман [De] [3] ( 1908 ), С. Н. Бернштейн [4] ( 1917 ), Р. Мізес [5] ( 1919 і 1928 ), а також Ломницький A. [En] [6] ( тисяча дев'ятсот двадцять три ) На базі ідей Е. Бореля [7] про зв'язок понять ймовірності та заходи .

Колмогоровской аксіоми елементарної теорії ймовірностей [ правити | правити код ]

Елементарна теорія ймовірностей - та частина теорії ймовірностей, в якій доводиться мати справу з імовірностями лише кінцевого числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматизована абсолютно в тому ж сенсі, як геометрія або алгебра . Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів і їх основним відносин, а також аксіоми, яким ці відносини повинні підкорятися, все подальший виклад має грунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відносин. Аксіоматизації теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і вибору основних понять і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливої простоти як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найбільш доцільним аксіоматізірованіе поняття випадкового події і його ймовірності .

Нехай Ω {\ displaystyle \ Omega} - безліч елементів ω {\ displaystyle \ omega} , Які називаються елементарними подіями, а F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} - безліч підмножин Ω {\ displaystyle \ Omega} , Званих випадковими подіями (або просто - подіями), а Ω {\ displaystyle \ Omega} - простором елементарних подій.

P (x + y) = P (x) + P (y) {\ displaystyle \ mathbf {P} (x + y) = \ mathbf {P} (x) + \ mathbf {P} (y)} .

Сукупність об'єктів (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbf {P})} , Яка задовольняє аксіомам I-IV, називається імовірнісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).

Система аксіом I-IV несуперечлива. Це показує наступний приклад: Ω {\ displaystyle \ Omega} складається з єдиного елемента ω {\ displaystyle \ omega} , F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} - з Ω {\ displaystyle \ Omega} і безлічі неможливих подій (порожнього безлічі) ∅ {\ displaystyle \ varnothing} , При цьому належить P (Ω) = 1, P (∅) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {P} (\ Omega) = 1, \ mathbf {P} (\ varnothing) = 0} . Однак ця система аксіом не є повною: у різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні імовірнісні простору.

Колмогоровской емпірична дедукція аксіом [ правити | правити код ]

Зазвичай можна припускати, що система F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} розглянутих подій x, y, z, ..., {\ displaystyle x, y, z, \ ldots,} яким приписані певні ймовірності, утворює алгебру подій, що містить в якості елемента безліч Ω {\ displaystyle \ Omega} (Аксіома I, а також перша частина аксіоми II - існування ймовірності). Можна практично бути впевненим, що якщо експеримент повторений велике число n {\ displaystyle n} раз і якщо при цьому через m {\ displaystyle m} позначено число настання події x {\ displaystyle x} , То відношення m / n {\ displaystyle m / n} буде мало відрізнятися від P (x) {\ displaystyle \ mathbf {P} (x)} . Далі ясно, що 0 ⩽ m / n ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant m / n \ leqslant 1} , Так що друга частина аксіоми II виявляється цілком природною. Для події Ω {\ displaystyle \ Omega} завжди m = n {\ displaystyle m = n} , Завдяки чому природно покласти P (Ω) = 1 {\ displaystyle \ mathbf {P} (\ Omega) = 1} (Аксіома III). Якщо, нарешті, x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} несумісні між собою (тобто події x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} не перетинаються як підмножини Ω {\ displaystyle \ Omega} ), То m = m 1 + m 2 {\ displaystyle m = m_ {1} + m_ {2}} , Де m, m 1, m 2 {\ displaystyle m, m_ {1}, m_ {2}} позначають відповідно число експериментів, наслідками яких служать події x + y, x, y {\ displaystyle x + y, x, y} . Звідси випливає:

m n = m 1 n + m 2 n. {\ Displaystyle {\ frac {m} {n}} = {\ frac {m_ {1}} {n}} + {\ frac {m_ {2}} {n}}.}

Отже, є доречним покласти

P (x + y) = P (x) + P (y) {\ displaystyle \ mathbf {P} (x + y) = \ mathbf {P} (x) + \ mathbf {P} (y)} (Аксіома IV).

Аксіома безперервності і нескінченні імовірнісні простору [ правити | правити код ]

На відміну від елементарної теорії ймовірностей, теореми, які виводяться в загальній математичної теорії ймовірностей, природно застосовуються також і до питань, пов'язаних з нескінченним числом випадкових подій. Але при вивченні цих останніх застосовуються істотно нові принципи: передбачається, що крім аксіом елементарної теорії ймовірностей (I-IV) виконується ще наступна

• Аксіома V (безперервності). Для спадної послідовності

x 1 ⊇ x 2 ... ⊇ x n ⊇ ... {\ displaystyle x_ {1} \ supseteq x_ {2} \ ldots \ supseteq x_ {n} \ supseteq \ ldots}

подій з F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} такий, що

⋂ n x n = ∅, {\ displaystyle \ bigcap _ {n} x_ {n} = \ varnothing,}

має місце рівність

lim n → ∞ P (x n) = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbf {P} (x_ {n}) = 0.}

Аксіома безперервності - це єдина аксіома сучасної теорії ймовірностей, що відноситься саме до ситуації нескінченного числа випадкових подій. Зазвичай в сучасній теорії ймовірностей імовірнісним простором називається тільки таке ймовірнісна простір (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbf {P})} , Яке, крім того, задовольняє аксіомі V. Імовірнісні простору в сенсі аксіом I-IV Колмогоров пропонував називати імовірнісними просторами в розширеному сенсі (у Колмогорова поле ймовірностей в розширеному сенсі), в даний час цей термін вживається вкрай рідко. Зауважимо, що якщо система подій F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} конечна, аксіома V випливає з аксіом I-IV. Всі моделі з імовірнісними просторами в розширеному сенсі задовольняють, отже, аксіомі V. Система аксіом I-V є, несуперечливої і неповною. Навпаки, для нескінченних імовірнісних просторів аксіома безперервності V є незалежною від аксіом I-IV.

Так як нова аксіома істотна лише для нескінченних імовірнісних просторів, то майже неможливо пояснити її емпіричне значення, наприклад, так, як це було зроблено з аксіомами елементарної теорії ймовірності (I-IV). При описі будь-якого дійсно спостерігається випадкового процесу можна отримувати тільки кінцеві поля - імовірнісні простору в розширеному сенсі. Нескінченні імовірнісні простору з'являються як ідеалізовані схеми дійсних випадкових явищ. Загальноприйнято мовчазно обмежуватися такими схемами, які задовольняють аксіомі V, що виявляється доцільним і ефективним в різних дослідженнях.

Нескінченні імовірнісні простору і "ідеальні події» [ правити | правити код ]

Алгебра F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} подій простору елементарних фіналів Ω {\ displaystyle \ Omega} називається борелевской алгеброю, якщо все рахункові суми Σ n x n {\ displaystyle \ sum _ {n} x_ {n}} подій x n {\ displaystyle x_ {n}} з F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} належать F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} . У сучасній теорії ймовірностей борелевская алгебри подій зазвичай називають σ {\ displaystyle \ sigma} -алгебри подій ( сигма-алгебра ). Нехай дано ймовірнісний простір в розширеному сенсі (Ω, F 0, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {0}, \ mathbf {P})} , Де F 0 {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}} - алгебра, P {\ displaystyle \ mathbf {P}} - імовірнісна міра на ній. Відомо, що існує найменша сигма-алгебра F = σ (F 0) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {0})} , Що містить F 0 {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}} . Більш того, справедлива

Теорема (про продовження) . Певну на (Ω, F 0) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {0})} неотрицательную лічильно-адитивну функцію множин P = P (⋅) {\ displaystyle \ mathbf {P} = \ mathbf {P} (\ cdot)} завжди можна продовжити з збереженням обох властивостей (невід'ємності та лічильної адитивності) на всі множини з F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} і при цьому єдиним чином.

Таким чином, кожне імовірнісний простір в розширеному сенсі (Ω, F 0, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {0}, \ mathbf {P})} може бути математично коректно продовжено до нескінченного імовірнісного простору (Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbf {P})} , Яке в сучасній теорії ймовірностей прийнято називати просто імовірнісним простором.

Разом з тим безлічі з сигма-алгебри F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} нескінченного імовірнісного простору можна розглядати тільки як «ідеальні події», прямо не представимо в світі спостережень. Якщо, проте, міркування, яке використовує ймовірності таких «ідеальних подій» призводить до визначення ймовірностей «реального події» з F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} , То це визначення, очевидно, автоматично буде несуперечливим і з емпіричної точки зору.

Критика терміна «аксіоматика теорії ймовірностей» [ правити | правити код ]

Деякі вчені не згодні з тим, що Колмогоров зробив теорію ймовірностей аксіоматичної теорією . Їхні аргументи:

• Імовірність - це поняття реального світу, тому її неможливо аксіоматизована, можна тільки побудувати математичну модель . Наприклад, так само неможливо аксіоматизована поняття « міст », Що не заважає розраховувати мости на міцність , Будуючи математичні моделі, з властивостями схожими на справжні мости.
• Стверджують, що аксіоматика Колмогорова не вводить жодного нового «базового поняття" ( невизначуваного , як крапка або пряма ). А значить, вона є лише визначенням : « імовірність - це така обмежена міра , Що P ⁡ (Ω) = 1 {\ displaystyle \ operatorname {P} (\ Omega) = 1} ». При цьому аксіоматику Колмогорова вони називають «моделлю Колмогорова». Іноді наводяться альтернативні моделі теорії ймовірностей.

Інший погляд: в моделі Колмогорова вводяться поняття « подій »І алгебра операцій над ними, якій ізоморфна алгебра множин . але в квантової логіки інша алгебра подій, вона підпорядковується інший аксіоматиці (і такі алгебри вивчалися І. М. Гельфандом ), А « квантова ймовірність »Будується відмінно від класичної .

1. ↑ Колмогоров А. Н. Основні поняття теорії ймовірностей. - М.-Л .: ОНТИ, 1936. - 80 с.
2. ↑ Колмогоров А. Н. Основні поняття теорії ймовірностей. - 2-е вид. - М.: Наука, 1974. - 120 с.
3. ↑ Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. - Roma, 6-11 Aprile. 1908. V. III. Sezione IIb. - Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
4. ↑ Бернштейн С. Н. Досвід аксіоматичного обгрунтування теорії ймовірностей // Текст. Харківська. Матем. Об-ва, 1917, Вип. 15, с. 209-274.
5. ↑ von Mises R. Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v. 5, p. 52-99.
6. ↑ Łomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math. , 1923, v. 4, p. 34-71.
7. ↑ Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p. 247-271.