Конгруентне число - натуральне число , Рівне площі прямокутного трикутника зі сторонами, довжини яких виражаються раціональними числами [1] . Більш загальне визначення включає всі позитивні раціональні числа з цією властивістю [2] .

Конгруентні числа утворюють послідовність

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52 ... (послідовність A003273 в OEIS ) Таблиця конгруентного числа: n ≤ 120 [3] -: неконгруентності число
K: без квадрата конгруентністю число
Q: конгруентність число з квадратним коефіцієнтом n 1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - K K K - n 9 10 11 12 13 14 15 16 - - - - K K K - n 17 18 19 20 21 22 23 24 - - - Q K K K Q n 25 26 27 28 29 30 31 32 - - - Q K K K - n 33 34 35 36 37 38 39 40 - K - - K K K - n 41 42 43 44 45 46 47 48 K - - - Q K K - n 49 50 51 52 53 54 55 56 - - - QKQKQ n 57 58 59 60 61 62 63 64 - - - Q K K Q - n 65 66 67 68 69 70 71 72 K - - - K K K - n 73 74 75 76 77 78 79 80 - - - - K K K Q n 81 82 83 84 85 86 87 88 - - - Q K K K Q n 89 90 91 92 93 94 95 96 - - - Q K K K Q n 97 98 99 100 101 102 103 104 - - - - K K K - n 105 106 107 108 109 110 111 112 - - - - KKKQ n 113 114 115 116 117 118 119 120 - - - Q Q K K Q

Наприклад, 5 є конгруентним числом, оскільки воно є площею трикутника зі сторонами 20/3, 3/2 і 41/6. Таким же чином, число 6 є конгруентним, оскільки воно є площею трикутника зі сторонами 3,4 і 5. 3 не є конгруентним.

Якщо q є конгруентним числом, то s 2 q теж є конгруентним для деякого числа s (просто помножимо кожну сторону трикутника на s), зворотне теж вірно. Це призводить до спостереження, що є чи нульове раціональне число q конгруентним числом, залежить тільки від його суміжного класу в групі

Q * / Q * 2 {\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*} / \ mathbb {Q} ^ {* 2}} .

Будь-суміжний клас в цій групі містить в точності одне вільний від квадратів число , Тому, коли говорять про конгруентних числах, мають на увазі тільки вільні від квадратів позитивні цілі числа.

Площа трикутника через боку виражається через формулу Герона :

S = p (pa) (pb) (pc), {\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}},}

де p - напівпериметр трикутника: p = a + b + c 2 {\ displaystyle p = {\ frac {a + b + c} {2}}} .

Нескладними перетвореннями наведена формула для площі може бути перетворено в диофантово рівняння . Тому завдання визначення, чи є натуральне число конгруентним, зводиться до пошуку вирішення цього діофантових рівнянь при заданому натуральному S з додатковою вимогою прямоугольности трикутника, що математично виражається як:

a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}

де a, b - катети трикутника, c - його гіпотенуза.

Завдання визначення, чи є дане ціле число конгруентним, носить ім'я завдання про конгруентність числі. Завдання (до 2012) поки не вирішена. теорема Тунелю [En] дає простий критерій перевірки для визначення, чи є число конгруентним, але цей результат ґрунтується на гіпотезі Берча - Свіннертона-Дайера , Яка не доведена.

Теорема Ферма про прямокутному трикутнику , Названа на честь П'єра Ферма , Стверджує, що ніяке квадратне число не може бути конгруентним. Однак, у вигляді твердження, що будь-яка різниця (крок) між послідовними членами арифметичної прогресії квадратів не є повним квадратом, цей факт був уже відомий (без доведення) Фібоначчі [4] . Будь-який такий крок прогресії є конгруентним числом, і будь-який конгруентне число є твором кроку прогресії на квадрат раціонального числа [5] . Однак визначення, чи є число кроком прогресії квадратів, є істотно більш простим завданням, оскільки існує параметрическая формула, в якій необхідно перевірити лише кінцеве число значень параметрів [6] .

Питання, чи є дане число конгруентним, виявляється еквівалентний умові, що деяка еліптична крива має позитивний ранг [2] . Альтернативний підхід до ідеї представлений нижче (і може бути знайдений у запровадженні в роботі Тунелю).

Припустимо, що a, b і c - числа (не обов'язково позитивні або раціональні), які задовольняють таким умовам:

a 2 + b 2 = c 2 1 2 a b = n. {\ Displaystyle {\ begin {matrix} a ^ {2} + b ^ {2} & = & c ^ {2} \\ {\ tfrac {1} {2}} ab & = & n. \ End {matrix}}}

Покладемо x = n (a + c) / b і y = 2 n 2 (a + c) / b 2. Отримаємо

y 2 = x 3 - n 2 x {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}

і y НЕ дорівнює 0 (якщо y = 0, то a = - c, так що b = 0, але (1/2) ab = n нулю не дорівнює, протиріччя).

Назад, якщо x і y є числами, що задовольняють рівнянням вище, і y НЕ дорівнює 0, покладемо a = (x 2 - n 2) / y, b = 2 nx / y, і c = (x 2 + n 2) / y. Обчислення показують, що ці три числа задовольняють двом рівнянням вище.

Відповідність між (a, b, c) і (x, y) можна зупинити, так що ми маємо взаємно-однозначна відповідність між рішеннями цих двох рівнянь для a, b і c і рішеннями для x і y, де y не дорівнює нулю. Зокрема, з формул для a, b і c випливає, що для раціонального n числа a, b і c раціональні тоді і тільки тоді, коли відповідні x і y раціональні, і навпаки. (Ми також отримуємо, що a, b і c позитивні тоді і тільки тоді, коли x і y позитивні. З рівняння y 2 = x 3 - xn 2 = x (x 2 - n 2) зауважимо, що якщо x і y позитивні , то x 2 - n 2 повинно бути позитивно, так що формула вище для a дасть позитивне число.)

Таким чином, позитивне раціональне число n конгруентно тоді і тільки тоді, коли y 2 = x 3 - n 2 x має раціональну точку [En] з нерівним нулю y. Можна показати (як витончене наслідок теореми Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії), що тільки точки крутіння цієї еліптичної кривої мають y, рівне 0, звідки випливає, що існування раціональних точок з ненульовим y еквівалентно твердженням, що еліптична крива має позитивний ранг.

Безліч робіт присвячено класифікації конгруентних чисел.

Наприклад, відомо [7] , Що для простого числа p виконується наступне:

• якщо p ≡ 3 ( mod 8), то p не є конгруентним, але 2 p є.
• якщо p ≡ 5 (mod 8), то p є конгруентним.
• якщо p ≡ 7 (mod 8), то p і 2 p конгруентний.

також відомо [8] , Що в кожному з класів відрахувань 5, 6, 7 (mod 8) та будь-якого заданого k є нескінченно багато вільних від нулів конгруентних чисел з k простими множниками.

1. ↑ Weisstein, Eric W. Congruent Number (Англ.) На сайті Wolfram MathWorld .
2. ↑ 1 2 Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. - New York: Springer-Verlag , 1993. - С. 3. - ISBN 0-387-97966-2 .
3. ↑ послідовність A003273 в OEIS
4. ↑ Øystein Ore. Number Theory and Its History. - Courier Dover Corporation, 2012. - С. 202-203. - ISBN 9780486136431 .
5. ↑ Keith Conrad. The congruent number problem // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Т. 2, вип. 2. - С. 58-73.
6. ↑ David Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. - John Wiley & Sons, 2004. - С. 77. - ISBN 9780471667001 .
7. ↑ Paul Monsky. Mock Heegner Points and Congruent Numbers // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - Т. 204, вип. 1. - С. 45-67. - DOI : 10.1007 / BF02570859 .
8. ↑ Ye Tian. Congruent Numbers and Heegner Points. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .