1. підпростір [ правити | правити код ]
2. Властивості підпросторів [ правити | правити код ]
3. Базис. розмірність [ правити | правити код ]
4. Лінійна оболонка [ правити | правити код ]

Запит «Лінійне простір» перенаправляється сюди; Див. також інші значення .

Векторне (або лінійне) простір - математична структура , Яка представляє собою набір елементів, які називаються векторами , Для яких визначені операції додавання один з одним і множення на число - скаляр [1] . Ці операції підпорядковані восьми аксіом. [⇨] Скаляри можуть бути елементами речового , комплексного або будь-якого іншого поля чисел . Окремим випадком подібного простору є звичайне тривимірне евклидово простір , Вектори якого використовуються, наприклад, для подання фізичних сил . При цьому слід зазначити, що вектор, як елемент векторного простору, не обов'язково повинен бути заданий у вигляді спрямованого відрізка. Узагальнення поняття «вектор» до елемента векторного простору будь-якої природи не тільки не викликає змішання термінів, але і дозволяє усвідомити або навіть передбачити ряд результатів, справедливих для просторів довільної природи [2] .

Векторні простору є предметом вивчення лінійної алгебри . Одна з головних характеристик векторного простору - його розмірність.

Розмірність є максимальне число лінійно незалежних елементів простору, тобто, вдаючись до грубої геометричній інтерпретації, число напрямків, невимовних один через одного за допомогою тільки операцій додавання і множення на скаляр. Векторний простір можна наділити додатковими структурами, наприклад, нормою або скалярним твором . Подібні простору природним чином з'являються в математичному аналізі , Переважно у вигляді нескінченновимірних функціональних просторів ( англ. ), Де в якості векторів виступають функції . Багато проблем аналізу вимагають з'ясувати, чи сходиться послідовність векторів до даного вектору. Розгляд таких питань можливе в векторних просторах з додатковою структурою, в більшості випадків - підходящої топологією , Що дозволяє визначити поняття близькості і безперервності . такі топологічні векторні простори , зокрема, банахови і гильбертови , Допускають більш глибоке вивчення.

Перші праці, що передбачили введення поняття векторного простору, відносяться до XVII століття . Саме тоді свій розвиток отримали аналітична геометрія , Вчення про матрицях , системах лінійних рівнянь , евклідових векторах .

Лінійне, або векторне простір V (F) {\ displaystyle V \ left (F \ right)} над полем F {\ displaystyle F} - це впорядкована четвірка (V, F, +, ⋅) {\ displaystyle (V, F, +, \ cdot)} , де

причому задані операції задовольняють наступним аксіомам - аксіом лінійного (векторного) простору:

1. x + y = y + x {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = \ mathbf {y} + \ mathbf {x}} , Для будь-яких x, y ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in V} (Коммутативность складання);
2. x + (y + z) = (x + y) + z {\ displaystyle \ mathbf {x} + (\ mathbf {y} + \ mathbf {z}) = (\ mathbf {x} + \ mathbf {y} ) + \ mathbf {z}} , Для будь-яких x, y, z ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z} \ in V} (Асоціативність додавання);
3. існує такий елемент 0 ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {0} \ in V} , Що x + 0 = 0 + x = x {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0} + \ mathbf {x} = \ mathbf {x}} для будь-якого x ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} (Існування нейтрального елемента щодо складання), званий нульовим вектором або просто нулем простору V {\ displaystyle V} ;
4. для будь-якого x ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} існує такий елемент - x ∈ V {\ displaystyle - \ mathbf {x} \ in V} , Що x + (- x) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {x} + (- \ mathbf {x}) = \ mathbf {0}} , Званий вектором, протилежним вектору x {\ displaystyle \ mathbf {x}} ;
5. α (β x) = (α β) x {\ displaystyle \ alpha (\ beta \ mathbf {x}) = (\ alpha \ beta) \ mathbf {x}} (Асоціативність множення на скаляр);
6. 1 ⋅ x = x {\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {x}} (Унітарність: множення на нейтральний (по множенню) елемент поля F зберігає вектор).
7. (Α + β) x = α x + β x {\ displaystyle (\ alpha + \ beta) \ mathbf {x} = \ alpha \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {x}} (Дистрибутивность множення вектора на скаляр щодо складання скалярів);
8. α (x + y) = α x + α y {\ displaystyle \ alpha (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = \ alpha \ mathbf {x} + \ alpha \ mathbf {y}} (Дистрибутивность множення вектора на скаляр щодо додавання векторів).

Таким чином, операція додавання задає на безлічі V {\ displaystyle V} структуру (адитивної) абельовой групи .

Векторні простору, задані на одному й тому самому безлічі елементів, але над різними полями, будуть різними векторними просторами (наприклад, безліч пар дійсних чисел R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} може бути двовимірним векторних простором над полем дійсних чисел або одновимірним - над полем комплексних чисел ).

1. Векторний простір є абельовой групою по додаванню.
2. Нейтральний елемент 0 ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {0} \ in V} є єдиним, що випливає з групових властивостей.
3. 0 ⋅ x = 0 {\ displaystyle 0 \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {0}} для будь-якого x ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} .
4. Для будь-якого x ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} протилежний елемент - x ∈ V {\ displaystyle - \ mathbf {x} \ in V} є єдиним, що випливає з групових властивостей.
5. 1 ⋅ x = x {\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {x} = \ mathbf {x}} для будь-якого x ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} .
6. (- α) ⋅ x = α ⋅ (- x) = - (α x) {\ displaystyle (- \ alpha) \ cdot \ mathbf {x} = \ alpha \ cdot (- \ mathbf {x}) = - ( \ alpha \ mathbf {x})} для будь-яких α ∈ F {\ displaystyle \ alpha \ in F} і x ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in V} .
7. α ⋅ 0 = 0 {\ displaystyle \ alpha \ cdot \ mathbf {0} = \ mathbf {0}} для будь-якого α ∈ F {\ displaystyle \ alpha \ in F} .

підпростір [ правити | правити код ]

Алгебраїчне визначення: Лінійне підпростір або векторне підпростір - непорожня підмножина K {\ displaystyle K} лінійного простору V {\ displaystyle V} таке, що K {\ displaystyle K} саме є лінійним простором по відношенню до певних в V {\ displaystyle V} дій додавання і множення на скаляр. Безліч всіх підпросторів зазвичай позначають як L a t (V) {\ displaystyle \ mathrm {Lat} (V)} . Щоб підмножина було подпространством, необхідно і достатньо, щоб

1. для будь-якого вектора x ∈ K {\ displaystyle \ mathbf {x} \ in K} вектор α x {\ displaystyle \ alpha \ mathbf {x}} також належав K {\ displaystyle K} при будь-якому α ∈ F {\ displaystyle \ alpha \ in F} ;
2. для будь-яких векторів x, y ∈ K {\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in K} вектор x + y {\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y}} також належав K {\ displaystyle K} .

Останні два твердження еквівалентні наступного:

для будь-яких векторів x, y ∈ K {\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in K} вектор α x + β y {\ displaystyle \ alpha \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {y}} також належав K {\ displaystyle K} для будь-яких α, β ∈ F {\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in F} .

Зокрема, векторний простір, що складається з одного лише нульового вектора, є подпространством будь-якого простору; будь-який простір є подпространством самого себе. Підпростору, що не збігаються з цими двома, називають власними або нетривіальними.

Властивості підпросторів [ правити | правити код ]

Лінійні комбінації [ правити | правити код ]

Кінцева сума виду

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α nxn {\ displaystyle \ alpha _ {1} \ mathbf {x} _ {1} + \ alpha _ {2} \ mathbf {x} _ {2} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ mathbf {x} _ {n}}

називається [3] лінійною комбінацією елементів x 1, x 2, ..., xn ∈ V {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {n} \ in V } з коефіцієнтами α 1, α 2, ..., α n ∈ F {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ in F} .

Насправді це визначення (і приводяться нижче) застосовно не тільки до комбінаціям векторів, а й до комбінаціям будь-яких інших об'єктів, для яких подібні суми взагалі мають сенс (наприклад, до комбінаціям точок афінного простору ).

Лінійна комбінація називається:

• нетривіальною, якщо хоча б один з її коефіцієнтів відмінний від нуля.
• барицентрична, якщо сума її коефіцієнтів дорівнює 1 [4] ,
• опуклою, якщо сума її коефіцієнтів дорівнює 1 і всі коефіцієнти невід'ємні,
• збалансованою, якщо сума її коефіцієнтів дорівнює 0.

Базис. розмірність [ правити | правити код ]

Вектори x 1, x 2, ..., x n {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {n}} називаються [5] лінійно залежними, якщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, значення якої дорівнює нулю; тобто

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α nxn = 0 {\ displaystyle \ alpha _ {1} \ mathbf {x} _ {1} + \ alpha _ {2} \ mathbf {x} _ {2} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ mathbf {x} _ {n} = \ mathbf {0}}

при деяких коефіцієнтах α 1, α 2, ..., α n ∈ F, {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ in F,} причому хоча б один з коефіцієнтів α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}} відмінний від нуля.

В іншому випадку ці вектори називаються лінійно незалежними.

Дане визначення допускає наступне узагальнення: безліч векторів з V {\ displaystyle V} називається лінійно залежною, якщо лінійно залежно деякий кінцеве його підмножина, і лінійно незалежним, якщо будь-який його кінцеве підмножина лінійно незалежно.

можна показати [6] , Що число елементів ( потужність ) Максимального лінійно незалежної безлічі елементів векторного простору не залежить від вибору цієї множини. Дане число називається рангом, або розмірністю, простору, а саме це безліч - базисом (Базисом Гамель або лінійним базисом). Елементи базису називають базисними векторами. Розмірність простору найчастіше позначається символом d i m {\ displaystyle {\ rm {dim}}} .

Таким чином, розмірність векторного простору є або невід'ємним цілим числом (зокрема, рівним нулю, якщо простір складається з одного лише нульового вектора), або нескінченністю (точніше, потужністю нескінченної кількості). У першому випадку векторна простір називається конечномірні, а в другому - безкінечномірні (наприклад, безкінечномірні є простір безперервних функцій ). Традиційно, вивчення скінченновимірних векторних просторів і їх відображень відноситься до лінійної алгебри , А вивчення нескінченновимірних векторних просторів - до функціонального аналізу . У другому випадку істотну роль грає питання про разложимости даного елемента по заданої нескінченної системи функцій, тобто про збіжності відповідних нескінченних сум, для чого безконечномірний векторний простір розглядається разом з додатковою структурою, що дозволяє визначати відповідність, наприклад, з метрикою або топологією .

Властивості базису:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α nxn {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ alpha _ {1} \ mathbf {x} _ {1} + \ alpha _ {2} \ mathbf { x} _ {2} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ mathbf {x} _ {n}} .

Лінійна оболонка [ правити | правити код ]

Лінійна оболонка V (X) {\ displaystyle {\ mathcal {V}} (X)} підмножини X {\ displaystyle X} лінійного простору V {\ displaystyle V} - перетин всіх підпросторів V {\ displaystyle V} , Що містять X {\ displaystyle X} .

Лінійна оболонка є подпространством V {\ displaystyle V} .

Лінійна оболонка також називається подпространством, породженим X {\ displaystyle X} . Кажуть також, що лінійна оболонка V (X) {\ displaystyle {\ mathcal {V}} (X)} - простір, натягнуте на безліч X {\ displaystyle X} .

Лінійна оболонка V (X) {\ displaystyle {\ mathcal {V}} (X)} складається зі всіляких лінійних комбінацій різних кінцевих підсистем елементів з X {\ displaystyle X} . Зокрема, якщо X {\ displaystyle X} - кінцеве безліч, то V (X) {\ displaystyle {\ mathcal {V}} (X)} складається з усіх лінійних комбінацій елементів X {\ displaystyle X} . Таким чином, нульовий вектор завжди належить лінійної оболонці.

Якщо X {\ displaystyle X} - лінійно незалежне безліч, то воно є базисом V (X) {\ displaystyle {\ mathcal {V}} (X)} і тим самим визначає його розмірність.

1. ↑ Не слід плутати поняття «множення на скаляр» і « скалярний добуток ».
2. ↑ Ільїн, Позняк 2010 , С. 45.
3. ↑ Кострикін, Манін, 1986 , С. 8.
4. ↑ Кострикін, Манін, 1986 , С. 198.
5. ↑ Кострикін, Манін, 1986 , С. 16.
6. ↑ Кострикін, Манін, 1986 , С. 14.

• Постніков М. М. Лінійна алгебра (Лекції з геометрії. Семестр II). - 2-е. - М.: наука , 1986. - 400 с.
• Стренг Г. Лінійна алгебра і її застосування = Linear Algebra and Its Applications. - М.: світ , 1980. - 454 с.
• Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра. 6-е изд. - М.: Фізматліт, 2010. - 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
• Пол Річард Халмош П. Скінченновимірні векторні простору = Finite-Dimensional Vector Spaces. - М.: Физматгиз , 1963. - 263 с.
• Тадея Д. К. Лекції з алгебри. - 5-е. - СПб. : лань , 2007. - 416 с.
• Шафаревич І. Р. , Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія. - 1-е. - М.: Фізматліт , 2009. - 511 с.
• Шрейєр О., Шпернер Г. Введення в лінійну алгебру в геометричному викладі = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанський Г. (переклад з німецької). - М.-Л .: ОНТИ , 1934. - 210 с.