1. 3. Односторонні поверхні

3. Односторонні поверхні

У кожної з звичайних поверхонь є по дві сторони. Це відноситься і до замкнутим поверхонь на кшталт сфери або тора, і до поверхонь, які мають кордони, які, наприклад, диск або тор, з якого вилучений шматок поверхні. Щоб легко розрізняти дві сторони однієї і тієї ж поверхні, їх можна було б розфарбувати різними фарбами. Якщо поверхню замкнута, дві фарби ніде не зустрінуться. Якщо поверхня має граничні криві, то різні фарби зустрічаються по цим кривим. Припустимо, що по таких поверхнях повзав би клоп і що-небудь заважало б йому перетинати граничні криві; тоді він залишався б завжди на одній стороні поверхні.

Інша чудова властивість поверхні Мебіуса полягає в тому, що у неї тільки один край: вся межа складається з однієї замкнутої кривої. Звичайна двостороння поверхню, що виходить при склеюванні кінців стрічки без всякого повороту, виразно має дві різні граничні криві. Якщо цю останню поверхню розрізати по центральній лінії, вона розпадеться на дві поверхні того ж типу. Але якщо розрізати таким же чином по центральній лінії стрічку Мебіуса (див. Рис. 139), то ми побачимо, що розпаду на дві частини не буде. Тому, хто не вправлявся зі стрічкою Мебіуса, важко передбачити цю обставину, настільки суперечить нашим інтуїтивним уявленням про те, що "має" статися. Але якщо поверхня, отриману після описаного вище розрізання стрічки Мебіуса, знову розрізати по її центральної лінії, то у нас в руках опиняться дві не зв'язані, але переплетені між собою стрічки!

Дуже цікаво розрізати такі стрічки по лініях, паралельним кордоні і віддаленим від неї на 1/2, 1/3 і т. Д. Ширини стрічки. Поверхня Мебіуса, без сумніву, заслуговує на увагу і в шкільному курсі.

Кордон поверхні Мебіуса є простою "незаузленную" замкнуту криву, і її можна деформувати в коло. Але можна припустити, що в процесі деформації поверхню буде сама себе перетинати. Що виходять при цьому самопересекающиеся одностороння поверхню відома під назвою "крос-кеп" (рис. 140) *. Лінію перетину тут слід вважати двічі, один раз відносячи до одного з пересічних листів поверхні, інший раз - до іншого, Крос-кеп, як і будь-яку односторонню поверхню, не можна безперервно деформувати в двосторонню (топологічний властивість).

* ()

Цікаво, що стрічку Мебіуса можна, виявляється, так деформувати, що її кордон буде плоскою ламаної, - а саме, трикутником, - причому стрічка залишиться несамопересекающейся. Така модель, знайдена д-ром Б. Туккерманом, показана на рис. 141, а; кордоном стрічки служить трикутник ABC, що обмежує половину діагонального квадратного перетину октаедра (симетричного щодо цього перерізу) Сама стрічка складається при цьому з шести граней октаедра і чотирьох прямокутних трикутників - чвертей вертикальних діагональних площин октаедра *.

* ()

Інший цікавий приклад односторонньої поверхні - так звана "пляшка Клейна". Це - замкнута поверхня, але вона на противагу відомим нам замкнутим поверхонь поділяє простору на "внутрішню" і "зовнішню" частини. Топологічно вона еквівалентна парі крос-кепів зі склеєними між собою граничними кривими.

Можна довести, що будь-яка замкнута одностороння поверхню роду р = 1, 2, ... топологічно еквівалентна сфері, з якої вийняті р дисків і замінені крос-кепамі. Звідси легко виводиться, що ейлерова характеристика V - E + F такої поверхні пов'язана з родом р співвідношенням

V - E + F = 2-p.

Доказ цієї пропозиції таке ж, як і для двосторонні поверхонь. Перш за все переконаємося, що ейлерова характеристиці крос-кепа або стрічки Мебіуса дорівнює 0. Для цього зауважимо, що, перерізаючи поперек стрічку Мебіуса, попередньо розбиту на області, ми отримаємо прямокутник, у якого будуть дві зайві вершини і одна зайва дуга, число ж областей залишиться те ж саме, що і для стрічки Мебіуса. Ми бачили на стор. 270, що для прямокутника V - Е + F = 1. Отже, для стрічки Мебіуса V - E + F = 0. Пропонуємо читачеві як вправа відновити цей доказ у всіх подробицях.

Вивчення топологічної структури поверхонь, подібних до тих, які тільки що були описані, проводиться більш зручно, якщо скористатися плоскими багатокутниками з попарно ідентифікованими сторонами (див. Гл. IV, Додаток, пункт 3). Так, на схемах рис. 143 стрілки показують, які з паралельних сторін і в якому напрямку повинні бути ідентифіковані: якщо можливо, то фізично, якщо неможливо, то хоча б подумки, абстрактно.

Метод ідентифікації можна застосувати і для визначення тривимірних замкнутих різноманіть, аналогічних двовимірним замкнутим поверхонь. Наприклад, ототожнюючи відповідні точки взаємно протилежних граней куба (рис. 144), ми отримуємо замкнутий тривимірне різноманіття, зване тривимірним тором. Таке різноманіття топологічно еквівалентно просторової області, укладеної між двома концентричними поверхнями тора (одна всередині іншої), з ідентифікацією відповідних точок (рис. 145). Дійсно, це останнє різноманіття виходить з куба, якщо привести в "фізичне" збіг дві пари "подумки ототожнених" взаємно протилежних граней.