1. Теорія функцій дійсної змінної [ правити | правити код ]
2. Теорія функцій комплексної змінної [ правити | правити код ]
3. Диференціальні і інтегральні рівняння [ правити | правити код ]
4. Теорія динамічних систем і ергодичної теорії [ правити | правити код ]

Ця стаття - про математичному аналізі в широкому розумінні, як великому напрямку в математиці і сучасному її розділі. Про класичному математичному аналізі і відповідної навчальної дисципліни см. Математичний аналіз .

Аналіз як сучасний розділ математики - значна частина математики , Історично виросла з класичного математичного аналізу [⇨] , І охоплює, крім диференціального і інтегрального обчислень, що входять в класичну частину, такі розділи, як теорії функцій дійсної

[⇨]

і комплексної [⇨] змінної, теорії диференціальних та інтегральних рівнянь [⇨] , варіаційне числення [⇨] , гармонійний аналіз [⇨] , функціональний аналіз [⇨] , Теорію динамічних систем і ергодичної теорії [⇨] , Глобальний аналіз [⇨] . нестандартний аналіз [⇨] - розділ на стику математичної логіки і аналізу, що застосовує методи теорії моделей для альтернативної формалізації, перш за все, класичних розділів.

Вважається одним з трьох основних напрямків математики, поряд з алгеброю і геометрією . Основна відмітна ознака аналізу в порівнянні з іншими напрямками - наявність функцій змінних величин як предмета дослідження. При цьому, якщо елементарні розділи аналізу в навчальних програмах і матеріалах часто об'єднують з елементарної алгеброю (Наприклад, існують численні підручники і курси з найменуванням «Алгебра і початки аналізу»), то сучасний аналіз в значній мірі використовує методи сучасних геометричних розділів, перш за все, диференціальної геометрії і топології .

Окремі відгалуження від «аналізу нескінченно малих», такі як теорія звичайних диференціальних рівнянь ( Ейлер , Йоганн Бернуллі , Д'Аламбер ), варіаційне числення (Ейлер, Лагранж ), Теорія аналітичних функцій (Лагранж, Коші , Згодом - Ріман ), Почали відокремлюватися ще в XVIII - першій половині XIX століття. Однак початком формування аналізу як самостійного сучасного розділу вважаються праці середини XIX століття по формалізації ключових понять класичного аналізу - дійсного числа , функції , межі , інтеграла , Перш за все, в працях Коші і Больцано , І набули закінчену форму до 1870-м - 1880-х років в роботах Вейєрштрасса , Дедекинда і Кантора [1] . У зв'язку з цим сформувалися теорія функцій дійсної змінної і, в розвитку методів роботи з аналітичними функціями, - теорія функцій комплексної змінної . Створена Кантором в кінці XIX століття наївна теорія множин дала поштовх до появи понять метричного і топологічного просторів, що в значній мірі змінило весь інструментарій аналізу, підвищивши рівень абстракції досліджуваних об'єктів і перемістивши фокус з дійсних чисел до нечислове поняттям.

На початку XX століття в основному силами французької математичної школи ( Жордан , Борель , Лебег , бер ) була створена теорія міри , Завдяки якій узагальнено поняття інтеграла, а також побудовано теорію функцій дійсної змінної

. Також на початку XX століття почав формуватися функціональний аналіз як самостійний підрозділ сучасного аналізу, який вивчає топологічні векторні простори і їх відображення [⇨] . Термін «функціональний аналіз» ввів Адамар , Позначаючи гілка варіаційного обчислення, що розробляється на рубежі XIX і XX століть групою італійських і французьких математиків (в їх числі - Вольтерра , Арцела ). В 1900 році Фредгольма публікує статтю про інтегральні рівняння, як дала поштовх для розвитку теорії інтегральних рівнянь [⇨] , Розвитку загальної теорії інтегрування ( Лебег ), Так і формування функціонального аналізу [2] . В 1906 році в роботі Гільберта окреслена спектральна теорія , В тому ж році опублікована робота Фреше , В якій вперше в аналіз введені абстрактні метричні простору [3] . У 1910-і - 1920-і роки уточнені поняття отделимости і вперше застосовані общетопологіческіе методи до аналізу ( Хаусдорф ), Освоєні функціональні простору і розпочато формування загальної теорії нормованих просторів (Гільберт, Мал , Банах , Хан ). У період 1929-1932 років сформована аксіоматична теорія Гільбертових просторів ( Джон фон Нейман , Маршалл Стоун , Мал). У 1936 році Соболєвим сформульовано поняття узагальненої функції (Пізніше в 1940-х роках незалежно від нього до подібного поняттю прийшов Лоран Шварц ), Що отримало широке розповсюдження в багатьох розділах аналізу і знайшло широке застосування в додатках (наприклад, узагальненої є δ {\ displaystyle \ delta} -функція Дірака ). У 1930-і - 1950-і роки в функціональному аналізі отримані значні результати за рахунок застосування общеалгебраіческіх інструментів ( векторні решітки , операторні алгебри , банахови алгебри ).

До середини XX століття отримали самостійний розвиток такі напрямки як теорія динамічних систем і ергодичної теорії ( Джордж Біркгоф , Колмогоров , Фон Нейман), істотно узагальнені результати гармонійного аналізу за рахунок застосування общеалгебраіческіх засобів - топологічних груп і уявлень ( Вейль , Петер [En] , Понтрягин ). Починаючи з 1940-х - 1950-х років методи функціонального аналізу знайшли застосування в прикладних сферах, зокрема, в роботах Канторовича 1930-х - 1940-х років інструменти функціонального аналізу використані в обчислювальної математики і економіці ( лінійне програмування ). У 1950-ті роки в працях Понтрягіна і учнів в розвиток методів варіаційного числення створена теорія оптимального управління .

Починаючи з другої половини XX століття з розвитком диференціальної топології до аналізу приєдналося новий напрямок - аналіз на многовидах , Що отримало назву «глобальний аналіз»

[⇨]

, Фактично почало формуватися раніше, в 1920-і роки в рамках теорії Морса як узагальнення варіаційного обчислення (зване морсом «Варіаційне числення в цілому», англ. variation calculus in large). До цього напрямку відносять створені в розвиток теорії біфуркацій динамічних систем ( Андронов ) Такі напрямки, як теорію особливостей ( Уїтні , 1955 ) і теорію катастроф ( Том , 1959 і Мазер [En] , 1965 ), Які отримали в 1970-ті роки розвиток в роботах Зімана і Арнольда .

На початку 1960-х років Робінсоном створений нестандартний аналіз

- альтернативна формалізація як класичних, так і суміжних областей аналізу з використанням інструментарію теорії моделей . Якщо спочатку нестандартний аналіз розглядався лише як логічна техніка обґрунтування погано формалізованих в класичних розділах понять (насамперед, нескінченно великих і нескінченно малих величин ), То з розробкою в кінці 1970-х років Нельсоном ( англ. Edward Nelson ) теорії внутрішніх множин [En] вслід узагальнень, виявилося, що конструкції нестандартного аналізу застосовні практично у всіх галузях математики, як природно властиві будь-яким математичним об'єктам [4] . Крім того, завдяки виразності мови нестандартного аналізу його засобами виявлені результати, які не були виявлені в класичному аналізі, але при цьому важливо могли б бути отримані і стандартними, класичними засобами [5] . Також в 1970-і - 1980-і роки в розвиток методу форсінга (створеного Коеном для доказу нерозв'язності в ZFC континуум-гіпотези ) В роботах Соловея , Скотта і Вопенкі ( чеськ. Petr Vopěnka ) Розроблена теорія булевозначних моделей [En] , На основі якої оформилася самостійна гілка нестандартного аналізу - булевозначний аналіз [6] .

Класичний математичний аналіз - розділ, фактично повністю відповідний історичному « аналізу нескінченно малих », Складається з двох основних компонентів: диференціального і інтегрального обчислень. Основні поняття - межа функції , диференціал , похідна , інтеграл , Головні результати - формула Ньютона - Лейбніца , що зв'язує визначений інтеграл і первообразную і ряд Тейлора - розкладання в ряд нескінченно диференціюється в околиці точки.

Під терміном «математичний аналіз» зазвичай розуміють саме цей класичний розділ, при цьому він використовується в основному в навчальних програмах і матеріалах. При цьому вивчення основ аналізу входить в більшість середньоосвітніх програм, а більш-менш повне вивчення предмета включено в програми перших років вищої освіти для широкого кола спеціальностей, в тому числі багатьох гуманітарних. В англо-американської освітньої традиції для позначення класичного математичного аналізу використовується термін «числення» ( англ. calculus).

Теорія функцій дійсної змінної [ правити | правити код ]

Теорія функцій дійсної змінної (іноді іменується коротко - теорія функцій) виникла внаслідок формалізації понять дійсного числа і функції [7] : Якщо в класичних розділах аналізу розглядалися тільки функції, що виникають в конкретних завданнях, природним чином, то в теорії функцій самі функції стають предметом вивчення, досліджується їхня поведінка, співвідношення їх властивостей. Один з результатів, що ілюструють специфіку теорії функцій дійсної змінної [8] - факт, що безперервна функція може не мати похідною ні в одній точці (притому згідно з більш ранніми уявленнями класичного математичного аналізу дифференцируемость всіх безперервних функцій не піддавалася сумніву).

Основні напрямки теорії функцій дійсної змінної [9] :

Теорія функцій комплексної змінної [ правити | правити код ]

Предмет вивчення теорії функцій комплексної змінної - числові функції, певні на комплексній площині C 1 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}} або комплексному евклідовому просторі C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} , При цьому найбільш ретельно вивчені аналітичні функції , Які відіграють важливу сполучну роль практично для всіх гілок математичного аналізу. Зокрема, поняття аналітичної функції узагальнено для довільних банахових просторах , Тим самим багато результати теорії функцій комплексної змінної знайшли узагальнення в функціональному аналізі.

Функціональний аналіз як розділ характеризується наявністю в якості предмета вивчення топологічних векторних просторів і їх відображень з накладеними на них різними алгебраїчними і топологічними умовами [11] . Центральну роль у функціональному аналізі відіграють функціональні простору, класичний приклад - простору L p {\ displaystyle L ^ {p}} всіх вимірних функцій , Чия p {\ displaystyle p} -я ступінь интегрируема; при цьому вже L 2 {\ displaystyle L ^ {2}} - безконечномірний простір ( гільбертовому просторі ), І простору нескінченних размерностей притаманні функціонального аналізу настільки, що іноді весь розділ визначається як частина математики, що вивчає безконечномірні простору і їх відображення [12] . Найважливішою формою просторів в класичних розділах функціонального аналізу є банахови простору - нормовані векторні простору, повні по метриці, породженої нормою: значна частка цікавих на практиці просторів є такими, серед них - все гильбертови простору, простору L p {\ displaystyle L ^ {p}} , простору Харді , простору Соболєва . Важливу роль відіграють у функціональному аналізі грають алгебраїчні структури, які є банахових просторах - банахови решітки і банахови алгебри (в тому числі - C * {\ displaystyle C ^ {*}} -алгебри [En] , алгебри фон Неймана ).

теорія операторів , що вивчає обмежені лінійні оператори - великий підрозділ функціонального аналізу, що включає спектральну теорію , Теорії різних класів операторів (зокрема, компактні , фредгольмови , замкнуті оператори), теорії операторів на спеціальних нормованих просторах (на Гільбертових просторах - самосопряженних , нормальні , унітарні , позитивні оператори, на функціональних просторах - диференціальні , псевдодіфференціальних , інтегральні і псевдоінтегральние оператори та інші), теорію інваріантних підпросторів , Теорії класів операторів - операторні алгебри , операторні напівгрупи та інші.

Основний об'єкт вивчення варіаційного обчислення - варіації функціоналів , За допомогою яких вирішуються екстремальні завдання, які залежать від вибору однієї або декількох змінних функцій. Типова варіаційна задача - відшукання функції, яка задовольняє умові стаціонарності деякого заданого функціонала, тобто такої функції, нескінченно малі обурення якої не викликають зміни функціоналу щонайменше в першому порядку малості. Класичне варіаційне числення мало великий інструментальне вплив на багато розділів фізики ( варіаційні принципи механіки , Також знайшло широке застосування в електродинаміки , квантовій механіці ). Теорія оптимального управління - застосування методів варіаційного числення для істотно більш широкого класу задач: визначення найкращих параметрів систем, в умовах коли керуючі параметри можуть приймати і граничні значення.

Основний принцип гармонійного аналізу - зведення задач аналізу до дослідження інструментами для гармонійних функцій і їх узагальнень. Класичний гармонійний аналізу включає в якості основних засобів теорії тригонометричних рядів , перетворень Фур'є , майже періодичних функцій [En] , рядів Діріхле [13] .

В абстрактному гармонійному аналізі класичні методи узагальнені для абстрактних структур з використанням таких понять, як міра Хаара і уявлення груп [14] . Найважливіший результат комутативного гармонійного аналізу - теорема Понтрягіна про подвійність , Завдяки якій відносно простими общеалгебраіческімі засобами описуються практично всі класичні результати гармонійного аналізу. Подальший розвиток теорії - некомутативними гармонійний аналіз, який має важливі додатки в квантовій механіці .

Диференціальні і інтегральні рівняння [ правити | правити код ]

У зв'язку з диференціальнимирівняннями в аналізі виділяється два основних напрямки - теорія звичайних диференціальних рівнянь і теорія диференціальних рівнянь в приватних похідних (В навчальних матеріалах і деяких класифікаціях фігурує як «рівняння математичної фізики», так як дослідження такого класу рівнянь складає основне наповнення математичної фізики ).

В теорії інтегральних рівнянь , Крім класичних методів рішення, виділяються такі напрямки, як теорія Фредгольма , Що зробила помітний вплив на формування функціонального аналізу як самостійного розділу, зокрема, сприяла формуванню поняття гильбертова простору .

Теорія динамічних систем і ергодичної теорії [ правити | правити код ]

З основних напрямків вивчення диференціальних рівнянь в якості самостійних розділів виділилися теорія динамічних систем , Що вивчає еволюцію в часі механічних систем, і ергодичної теорії , Націлена на обгрунтування статистичної фізики . Незважаючи на прикладний характер завдань, до цих розділів відноситься широкий пласт понять і методів общематеміческого значення, зокрема, такі поняття стійкості і ергодичності .

Глобальний аналіз - розділ аналізу, який вивчає функції і диференціальні рівняння на многовидах і векторних розшарування [15] ; іноді цей напрямок позначається як «аналіз на многовидах».

Одне з перших напрямків глобального аналізу - теорія Морса і її застосування до задач про геодезичних на риманових многовидах ; напрямок одержав назву «варіаційне числення в цілому». Основні результати - лема Морса , Що описує поведінку гладких функцій на гладких многовидах в невироджених особливих точках, і такий гомотопічний інваріант, як категорія Люстерника - Шнірельман . Багато з конструкцій і тверджень узагальнені на випадок нескінченновимірних многовидів ( гільбертових різноманіть [En] * , Банаха різноманіть [En] ). Результати, отримані в рамках глобального аналізу особливих точок знайшли широке і для вирішення суто топологічних завдань, така, наприклад, теорема періодичності Ботта [En] , Багато в чому послужила підставою для самостійного розділу математики - K {\ displaystyle K} -теорії , а також теорема про h {\ displaystyle h} -кобордізме , Наслідком якої є виконання гіпотези Пуанкаре для розмірності, яка перевершує 4.

Ще один великий блок напрямків глобального аналізу, який отримав широке застосування у фізиці та економіці - теорія особливостей , теорія біфуркацій і теорія катастроф ; основний напрямок досліджень даного блоку - класифікація поводжень диференціальних рівнянь або функцій в околицях критичних точок і виявлення характерних особливостей відповідних класів.

Нестандартний аналіз - формалізація ключових понять аналізу засобами математичної логіки , Основна ідея - формальна актуалізація нескінченно великих і нескінченно малих величин, і логічна формалізація маніпуляцій з ними. При цьому кошти нестандартного аналізу виявляються досить зручними: ними отримані результати, які раніше не знайдені класичними засобами через нестачу наочності [5] .

Нестандартний аналіз розбівається на два напрямки: семантичного, что вікорістовує на теоретико-модельні інструменти та синтаксичних, что Використовують різного роду Розширення стандартної Теорії множини . Семантичного напрямок базується на локальної теореми Мальцева , Що дозволяє переносіті Властивості з локальних частин моделей на всю модель [16] . Існує велика самостійна гілка семантичного напряму нестандартного АНАЛІЗУ - булевозначній аналіз, конструює вокруг Поняття булевозначной моделі [En] [17] . Синтаксичних напрямок ґрунтується на Теорії внутрішніх множини [En] , Ключовою ідеєю якого є введення поняття нестандартних елементів і предиката стандартності, і аксіоматизація властивих їм властивостей. Інший варіант синтаксичної формалізації - альтернативна теорія множин [En] [18] .

1. ↑ Математика, 1956 , §7. Сучасна математика // А. Д. Александров, с. 55.
2. ↑ Д'єдонне, 1981 , §1. Fredholm's discovery, p. 97.
3. ↑ Д'єдонне, 1981 , Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, p. 97.
4. ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011 , ... нестандартний аналіз розглядали як досить тонку і навіть екзотичну логічну техніку, призначену для обгрунтування методу актуальних нескінченно великих і нескінченно малих чисел <...> В кінці 70-х років після опублікування теорії внутрішніх множин Е. Нельсона (і дещо пізніше теорій зовнішніх множин К . Хрбачека і Т. Каваї) погляди на місце і роль нестандартного аналізу докорінно збагатилися і видозмінилися. У світлі нових відкриттів нестандартні елементи стало можливо розглядати <...> як невід'ємні частини будь-яких звичних математичних об'єктів. Виникла установка, яка полягає в тому, що кожне безліч утворено стандартними і нестандартними елементами, с. viii.
5. ↑ 1 2 Аналіз (розділ математики) - стаття з математичної енциклопедії . Драгаліна А. Г. За допомогою Н. а. був виявлений ряд нових фактів. Багато класичні. докази помітно виграють в наочності при викладі їх методами нестандартного аналізу
6. ↑ А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Введення в булевозначний аналіз. - М.: Наука, 2005. - 526 с. - ISBN 5-02-033710-2 .
7. ↑ Вікіпедія, Математика, 1978 , В результаті систематичної побудови математичного аналізу на основі суворої арифметичної теорії ірраціональних чисел і теорії множин виникла нова галузь М. - теорія функцій дійсної змінної.
8. ↑ Вікіпедія, Математика, 1978 , Для теорії функцій дійсної змінної типовий інтерес до повного з'ясування дійсного обсягу загальних понять аналізу (на самому початку її розвитку Б. Больцано і пізніше К. Вейерштрассом було, наприклад, виявлено, що безперервна функція може не мати похідної ні в одній точці).
9. ↑ Теорія функцій // Велика Радянська Енциклопедія : [В 30 т.] / Гол. ред. А. М. Прохоров . - 3-е изд. - М .: Радянська енциклопедія, 1969-1978.
10. ↑ Математика, 1956 , §7. Сучасна математика // А. Д. Александров), с. 56.
11. ↑ Д'єдонне, 1981 , One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings u: Ω → F {\ displaystyle u: \ Omega \ to F} from a part Ω {\ displaystyle \ Omega} of a topological vector space E {\ displaystyle E} into a topological vector space F {\ displaystyle F} , These mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions, p. 1.
12. ↑ Функціональний аналіз // Велика Радянська Енциклопедія : [В 30 т.] / Гол. ред. А. М. Прохоров . - 3-е изд. - М .: Радянська енциклопедія, 1969-1978.
13. ↑ гармонійний аналіз - стаття з математичної енциклопедії . Е. М. Нікітін
14. ↑ Гармонійний аналіз абстрактний - стаття з математичної енциклопедії . Е. А. Горін, А. І. Штерн
15. ↑ Smale S. What is Global Anaysis? (Англ.) // American Mathematical Monthly. - 1969. - Vol. 76, no. 1. - P. 4-9. - ISSN 0002-9890 . - DOI : 10.2307 / 2316777 .
16. ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011 , А. Робінсон спирався на локальну теорему А. І. Мальцева, виділяючи її як результат «основоположного значення для нашої теорії», с. 11.
17. ↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011 , С. xii.
18. ↑ П. Вопенка. Математика в альтернативної теорії множин = Mathematics in The Alternative Set Theory / переклад А. Драгаліна. - М.: Мир, 1983. - 152 с. - (Нове в зарубіжній математики). - 6000 екз.

• Математика, її зміст, методи та значення / А. Д. Александров , А. Н. Колмогоров , М. А. Лавреньтев . - М.: Видавництво Академії наук СРСР, 1956. - Т. 1. - 296 с. - 7000 екз.
• Математика / А. Н. Колмогоров // Велика Радянська Енциклопедія : [В 30 т.] / Гол. ред. А. М. Прохоров . - 3-е изд. - М .: Радянська енциклопедія, 1969-1978.
• Гордон Е. І., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Інфінітезимального аналіз: вибрані теми. - М.: Наука, 2011. - 398 с. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
• Dieudonné, J. History of Functional Analysis. - Amsterdam: North Holland, 1981. - 314 p. - (Notas de Matematica, vol. 77). - ISBN 0-444-84148-3 .