1. рівняння [ правити | правити код ]
2. тотожності [ правити | правити код ]
3. Наближені рівності [ правити | правити код ]
4. нерівності [ правити | правити код ]
5. Додавання і віднімання [ правити | правити код ]
6. множення [ правити | правити код ]
7. розподіл [ правити | правити код ]
8. Зведення в ступінь [ правити | правити код ]
9. Абсолютна величина, знак і т. П. [ правити | правити код ]

Математична формула (від лат. formula - зменшувальне від forma - образ, вид) - в математиці, а також фізики та прикладних науках, символічна запис висловлювання (Яке виражає логічне судження [1] ), Або форми висловлювання [2] . Формула, поряд з термами , Є різновидом вираження формалізованої мови. У більш широкому сенсі формула - будь-яка суто символьна запис (див. нижче ), Протиставляється в математиці різним виразним способам, які мають геометричну конотацію: кресленнями , графіками , діаграм , графам і т.п.

Як правило, в формулу входять змінні (Одна або більше), причому сама формула являє собою не просто вираз, а якесь судження . Таке судження може стверджувати щось про змінних, а може - про застосовувані операціях. Точний зміст формули часто мається на увазі з контексту і його неможливо зрозуміти безпосередньо з її вигляду. Можна виділити три поширених випадку:

• Формула повинна повідомити, як шукати значення змінної ( рівняння і т.п.);
• Формула (записується як «шукане = вираз») визначає величину через свої параметри (аналогічно присвоюванню в програмуванні і іноді записується через диграф «: =» як в мові Pascal , Але в принципі може вважатися виродженим окремим випадком рівняння);
• Формула є власне логічним твердженням: тотожністю (Наприклад, аксіомою), затвердженням теореми і т. П.

рівняння [ правити | правити код ]

Рівняння - формула, зовнішня (верхня) зв'язка якого є бінарне відношення рівності . Однак важлива особливість рівняння полягає також в тому, що входять до нього символи діляться на змінні і параметри (присутність останніх, втім, необов'язково). Наприклад, x 2 = 1 {\ displaystyle x ^ {2} = 1} є рівнянням, де x - змінна. Значення змінної, при яких рівність істинно, називаються корінням рівняння : В даному випадку такими є два числа 1 і -1 . Як правило, якщо рівняння на одну змінну не є тотожністю (див. Нижче), то корені рівняння є дискретне, найчастіше кінцеве (Можливо і порожнє ) Безліч.

Якщо в рівняння входять параметри, то його зміст - для заданих параметрів знайти коріння (тобто значення змінної, при якому рівність вірно). Іноді це можна сформулювати як знаходження неявній залежності змінної від параметра (параметрів). Наприклад x 2 = a {\ displaystyle x ^ {2} = a} розуміється як рівняння на x (це звичайна буква для позначення змінної, поряд з y, z і t). Корінням рівняння є квадратний корінь з a (вважається, що їх є два, різних знаків). Слід зазначити, що подібна формула, сама по собі, задає лише бінарне відношення між x і a і її можна розуміти в зворотну сторону, як рівняння на a щодо x. В даному елементарному випадку, мова може йти скоріше про визначення a через x: a = x 2 {\ displaystyle a = x ^ {2}} .

тотожності [ правити | правити код ]

Тотожність - судження, вірне при будь-яких значеннях змінних. Зазвичай, під тотожністю увазі тотожне вірне рівність, хоча зовні тотожності може стояти і нерівність або будь-яке інше ставлення. У багатьох випадках тотожність можна розуміти як якесь властивість використовуваних в ньому операцій , Наприклад тотожність a + b = b + a {\ displaystyle a + b = b + a} стверджує коммутативность складання.

За допомогою математичної формули досить складні пропозиції можуть бути записані в компактній і зручній формі. Формули, що стають справжніми при будь-якому заміщенні змінних конкретними об'єктами з деякої області, називаються тотожно-істинними в даній області. Наприклад: «для будь-яких a і b має місце рівність (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 {\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ { 2}} ». Дане тотожність можна вивести з аксіом додавання і множення в комутативну кільці , Які самі по собі також мають вигляд тотожностей.

Тотожність може і не включати в себе змінні і бути арифметичним (або якимось ще) рівністю, як наприклад 6 3 = 3 +3 +4 +3 +5 3 {\ displaystyle 6 ^ {3} = 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3}} .

Наближені рівності [ правити | правити код ]

Наприклад: x ≈ sin ⁡ (x) {\ displaystyle x \ approx \ sin (x)} - наближене рівність при малих x {\ displaystyle x} ;

нерівності [ правити | правити код ]

Формула-нерівність може розумітися в обох описаних на початку розділу сенсах: як тотожність (наприклад, нерівність Коші - Буняковського ) Або ж, подібно до рівняння, як завдання на відшукання безлічі (а точніше, підмножини області визначення), якому може належати змінна, або змінні.

В даному розділі будуть перераховані операції, які використовуються в алгебри , А також деякі загальновживані функції з математичного аналізу .

Додавання і віднімання [ правити | правити код ]

Використовуються знаки « + »І« - »(Останній на листі досить слабо відрізнити від дефіса ). Унарний мінус частіше використовується лише при першому (лівому) слагаемом, оскільки інші випадки, типу «a + (- b)» і «a - (-b)», нічим не відрізняються за змістом від більш простих «a - b» і « a + b »відповідно.

По причині асоціативності складання, розстановка дужок для завдання порядку виконання складання не має математичного сенсу. В алгебрі складовими називають аргументи як складання, так і віднімання. Порядок виконання віднімання, при відсутності дужок, такий, що віднімаються виявляється лише член, виписаний безпосередньо праворуч від знака віднімання, а не результат виконання операцій будь-яких додавання і віднімання, записаних правіше. Таким чином зі знаком мінус входять в суму лише ті «складові», безпосередньо зліва від яких знак «-» є.

множення [ правити | правити код ]

Знак множення найчастіше опускається. Це не викликає двозначності, оскільки змінні позначаються зазвичай поодинокими буквами, а виписувати множення записаних цифрами констант один на одного безглуздо. У рідкісних випадках, коли двозначності не уникнути, множення позначається центровані по вертикалі символом точки «·». Символ «×» застосовується лише в шкільній арифметиці, в технічних текстах (в особливому контексті), а також деякі системи вставляють його на місці знака множення при перенесення формули на інший рядок (зазвичай, перенесення по знаку множення уникає).

розподіл [ правити | правити код ]

розподіл в формулах записується за допомогою дробової риси. У шкільній арифметиці застосовується також «÷» ( обелюс ).

Зведення в ступінь [ правити | правити код ]

Елементарні функції [ правити | правити код ]

Абсолютна величина, знак і т. П. [ правити | правити код ]

Пріоритет операцій та дужки [ правити | правити код ]

Пріоритет, ранг або старшинство операції або оператора - формальне властивість оператора / операції, що впливає на черговість його виконання в вираженні з декількома різними операторами при відсутності явного (за допомогою дужок) вказівки на порядок їх обчислення. Наприклад, операцію множення зазвичай наділяють великим пріоритетом, ніж операцію складання, тому у виразі буде отримано спочатку твір y і z, а потім вже сума.

наприклад:

2 + 2 = 7 {\ displaystyle 2 + 2 = 7} - приклад формули, що має значення «брехня»;

y = ln ⁡ (x) + sin ⁡ (x) {\ displaystyle y = \ ln (x) + \ sin (x)} - функція одного дійсного аргументу;

z = y 3 y 2 + x 2 {\ displaystyle z = {\ frac {y ^ {3}} {y ^ {2} + x ^ {2}}}} - функція декількох аргументів (графік однієї з найчудовіших кривих - верзьера Аньезі );

y = 1 - | 1 - x | {\ Displaystyle y = 1 | 1-x |} - Чи не диференціюється функція в точці x = 1 {\ displaystyle x = 1} (Безперервна ламана лінія не має дотичній);

x 3 + y 3 = 3 a x y {\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 3axy} - рівняння, тобто неявна функція (графік кривої « декартів лист »);

t n = n! {\ Displaystyle t_ {n} = n!} - целочисленная функція;

y = y 3 sin ⁡ (n x) {\ displaystyle y = y ^ {3} \ sin (nx)} - парна функція ;

y = tg ⁡ (x) {\ displaystyle y = \ operatorname {tg} (x)} - непарна функція ;

f (P) = x 2 + y 2 + z 2 {\ displaystyle f (P) = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} - функція точки, відстань від точки до початку (декартових) координат;

y = 1 x - 3 {\ displaystyle y = {\ frac {1} {x-3}}} - розривна функція в точці x = 3 {\ displaystyle x = 3} ;

x = a [t - sin ⁡ (t)]; y = a [1 - cos ⁡ (t)] {\ displaystyle x = a [t- \ sin (t)] \,; \ y = a [1 \ cos (t)]} - параметрически задана функція (графік циклоїди );

y = ln ⁡ (x), x = e y {\ displaystyle y = \ ln (x), \ x = e ^ {y}} - пряма і зворотна функції;

f (x) = ∫ - ∞ x | f (t) | d t {\ displaystyle f (x) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {x} | f (t) | \, dt} - інтегральне рівняння.