НОУ ІНТУЇТ | лекція | Елементи математичної статистики

5.1. Функції для розв'язання задач математичної статистики
5.2. Генерація випадкових чисел
Рівномірний розподіл - розподіл з постійною ймовірністю
Нормальний розподіл
числові характеристики

Анотація: Лекція присвячена опису засобів пакету MathCAD для вирішення основних завдань математичної статистики, в тому числі методам генерації псевдовипадкових послідовностей із заданим розподілом, обчисленню числових характеристик випадкових величин, визначення закону розподілу випадкової величини.

Мета лекції. Показати методику та інструменти MathCAD для роботи з випадковими величинами.

5.1. Функції для розв'язання задач математичної статистики

Випадковою величиною (СВ) називається величина, яка в результаті досвіду може прийняти тільки одне з безлічі значень, причому заздалегідь, до досвіду, невідомо, яке саме. Випадкова величина (СВ) може бути дискретною, в цьому випадку вона приймає значення з дискретного числового безлічі M = {1, 2, 3, 4, 5} [ 10 , 12 ]. Випадкова величина може бути безперервною, тоді приймає значення з безперервного числового безлічі. Кожна СВ повністю визначається своєю функцією розподілу. Якщо X - СВ, можливі значення якої x1, x2, .. Функцією розподілу F (x), або інтегральним законом розподілу, випадкової величини X називається залежність ймовірності P виконання нерівності X <х від можливих значень х

де P - ймовірність.

Функція розподілу СВ містить про неї всю інформацію, тому важливим є вивчення та дослідження функції розподілу СВ, яку часто називають просто розподілом.

Безперервну СВ можна також задати, використовуючи іншу функцію - щільність розподілу або щільність ймовірності або диференціальну функцію.

Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X називається функція f (x), що є першою похідною від функції розподілу F (x) - Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X називається функція f (x), що є першою похідною від функції розподілу F (x) - .

З визначення випливає, що функція розподілу є первісною для щільності розподілу. Якщо функція f (x) - щільність розподілу неперервної СВ, то для будь-яких a <b

Знаючи щільність ймовірності, можна знайти функцію розподілу [ 10 , 12 ].

Функції для генерації послідовності випадкових величин (СВ) знаходяться в категорії Random numbers; імена функцій починаються на r, далі йде скорочена назва закону, наприклад: - rnd (x) - генерує одне число, рівномірно розподілене від 0 до х; - rnorm (n, m, d) - генерує n чисел, розподілених за нормальним законом з середнім m і середньоквадратичним відхиленням - генерує n чисел, розподілених за законом Пуассона з параметром р.

Функції розподілу випадкової величини знаходяться в категорії Probaility distribution; імена функцій починаються на p, далі йде скорочена назва закону. наприклад: - розраховує в точці x значення функції розподілу ймовірності для нормального закону з середнім m і середньоквадратичним відхиленням ppois (n, p) - розраховує в точці x значення функції розподілу ймовірності для закону Пуассона з параметром p.

Функції щільності розподілу випадкової величини знаходяться в категорії Probability density; імена функцій починаються на d, далі йде скорочена назва закону. Наприклад: dunif (x, a, b). - значення функції щільності ймовірності в точці x для рівномірного закону на інтервалі [a, b], a <b, - dpois (x, p) - значення функції щільності ймовірності в точці x для закону Пуассона з параметром p.

Функції для розрахунку числових характеристик випадкових величин. При вирішенні практичних завдань важливо числові параметри СВ - кількісні критерії, які дозволяють дати оцінку найбільш істотним ознаками випадкової величини. До таких величинам відносяться: математичне очікування (або середнє), дисперсія, середньоквадратичне відхилення і т.д. [ 10 , 12 ]. Функції для розрахунку числових характеристик знаходяться в категорії Statistics. Наприклад, mean (v) - середнє значення, var (v) - дисперсія; - stdev (v) - середньоквадратичне відхилення і т.д. Тут v - вектор значень випадкової величини.

Всі функції наведені в додатку.

5.2. Генерація випадкових чисел

При генерації програма створює послідовність псевдовипадкових чисел. Псевдовипадкові величини виробляються алгоритмічно і представляють послідовність чисел, що володіють властивостями випадкових чисел. Псевдовипадкові числа пов'язані з деяким заданим стартовим значенням. Для того, щоб поміняти саму послідовність згенерованих випадковим датчиком чисел, в MathCAD передбачена можливість визначення початкового - стартового значення. У меню Tools / Worksheet Options (Інструменти / Опції листа), на вкладці Built-in Variables (Вбудовані змінні) в поле вводу Seed value for random встановлюється початкове (стартове) значення для генератора псевдовипадкових чисел. Альтернативний спосіб: використання вбудованої функції seed (x) прямо в документі:

seed (x) - функція установки нового початкового значення для генератора псевдовипадкових чисел, х - нове початкове значення для генератора псевдовипадкових чисел (ціле число від 1 до 2147483647) [ 3 , 4 ].

Рівномірний розподіл - розподіл з постійною ймовірністю

приклад 5.1

Побудуємо 8000 чисел рівномірно розподіленим СВ в інтервалі від 0 до 10 і її графік.

Використовуємо функцію rnd (x) з категорії Random numbers.

Функція rnd (x) генерує рівномірно розподілене випадкове число між 0 і x. [ 4 , 9 ].

Для генерації масиву використовуємо ранжируваних змінних. MathCAD створює масив СВ у вигляді вектора, значення якого подаються у вигляді таблиці, 1 стовпець якої - номер, 2 стовпець - значення випадкової величини. Якщо масив великий, щоб переглянути всі значення СВ - треба клацнути по таблиці і використовувати лінійку прокрутки. Можна уявити СВ у вигляді одновимірної індексної змінної. На лістингу рішення ( рис.5.1 ) R - вектор випадкової величини. Графік СВ побудований на площині для індексної змінної і тривимірний для вектора R. Графіки побудовані у вигляді точок.

Графіки побудовані у вигляді точок

- генерує одне число, рівномірно розподілене від 0 до x.

- рівномірно розподілене випадкове число в інтервалі [0; 2]

- рівномірно розподілене в інтервалі [0; 3]

Мал.5.1.

Лістинг рішення прикладу 5.1. Графіки СВ одновимірної індндексной змінної Rk і матриці R

Нормальний розподіл

приклад 5.2

Побудуємо 1000 елементів СВ, розподілених за нормальним законом із середнім середньоквадратичним відхиленням .

Для генерації використовуємо функцію rnorm () з категорії Random numbers.

функція функція - генерує вектор n незалежних випадкових чисел, кожне з яких має нормальний розподіл з середнім m і середньоквадратичним відхиленням ; - генерує вектор n незалежних випадкових чисел, кожне з яких має нормальний розподіл з середнім m і середньоквадратичним відхиленням ;.

Функція rnorm () також створює масив СВ у вигляді вектора. . На лістингу ( рис.5.2 ) NR - вектор випадкової величини. Як і в прикладі 5.1. побудуємо графік СВ на площині для індексної змінної Функція rnorm () також створює масив СВ у вигляді вектора у вигляді точок і ліній і тривимірний точковий для матриці NR.

побудуємо графік СВ на площині для індексної змінної у вигляді точок і ліній і тривимірний точковий для матриці NR

збільшити зображення
Мал.5.2.

Лістинг рішення прикладу 5.2. Вектор СВ NR і графіки вектора NR .на площині і в простанстве

числові характеристики

Розрахуємо числові характеристики СВ: середнє, мінімальне, максимальне значення, дисперсію, середньоквадратичне відхилення. Використовуємо функції з категорії Statistics.

Числові характеристики СВ з рівномірним розподілом для прикладу 5.1.

- середнє